某些物理現(xiàn)象需要用一個(gè)時(shí)間極短，但取值極大的函數(shù)模型來(lái)描述。例如，力學(xué)中的瞬間沖擊力，電學(xué)中的雷擊電閃，數(shù)字通信中的抽樣脈沖等。“沖激函數(shù)”的概念就是以這類實(shí)際問(wèn)題為背景而引出的。

沖激函數(shù)可由不同的方式來(lái)定義。首先分析矩形脈沖如何演變?yōu)闆_激函數(shù)。圖4-2a給出了寬為 ，高為1/ 的矩形脈沖，當(dāng)保持矩形脈沖面積 (1/ )=1不變，而使脈寬趨近于零時(shí)，脈沖幅度必趨于無(wú)窮大，此極限情況即為單位沖激信號(hào)，常記作 , 又稱為“ 函數(shù)”。

單位沖激函數(shù)用箭頭表示，如圖4-2b所示。它表明：(t) 只在t=0點(diǎn)有一“沖激”，在t=0點(diǎn)以外各處函數(shù)值都是零，且沖激的面積為1。即對(duì)于任意實(shí)數(shù)，t≠0時(shí)(t)＝0， 且 。

如果矩形脈沖的面積不是固定的1，而是a，則表示一個(gè)沖激強(qiáng)度為a倍單位值的 函數(shù)，即a (t),

如果單位沖激信號(hào) (t)與一個(gè)在t=0點(diǎn)連續(xù)的信號(hào)f(t)相乘，則乘積僅在t=0處得到f(0) (t)其余各點(diǎn)的乘積均為零，于是對(duì)于沖激函數(shù)有如下性質(zhì)：

類似地，對(duì)于延遲t₀的單位沖激信號(hào)有

以上兩式表明了沖激信號(hào)的抽樣特性(或稱“篩選”特性）。根據(jù)這一特性，可以將任意的連續(xù)時(shí)間信號(hào)表示為無(wú)窮多個(gè)不同時(shí)間延遲t 的沖激信號(hào)的加權(quán)積分，即將任意信號(hào)分解為無(wú)窮多個(gè)沖激信號(hào)的疊加，這體現(xiàn)了信號(hào)分解的思想。

將連續(xù)信號(hào)f(t)近似分解為如圖4-3所示的矩形脈沖之和。當(dāng)t=時(shí)，連續(xù)信號(hào)近似為圖中陰影部分所示的矩形脈沖信號(hào)。當(dāng)脈沖寬度 趨近于零時(shí)，這個(gè)脈沖信號(hào)可近似看做時(shí)刻的 函數(shù)，這個(gè)沖激函數(shù)的強(qiáng)度（面積）為f（ ）。因此可將f（t）分解為無(wú)窮多個(gè)強(qiáng)度不同的 函數(shù)的疊加，即

對(duì)于任一LTI系統(tǒng)，當(dāng)該系統(tǒng)的輸入為一單位沖激信號(hào) (t),時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)的輸出可以唯一確定地表征該系統(tǒng)，這個(gè)輸出被稱為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)。如果將系統(tǒng)的輸入x(t)分解為無(wú)窮多個(gè)強(qiáng)度不同的 函數(shù)的疊加，根據(jù)LTI系統(tǒng)的非時(shí)變性和線性，輸出信號(hào)可表示為無(wú)窮多個(gè)強(qiáng)度不同的沖激響應(yīng)h(t)的疊加，則系統(tǒng)的輸出y(t)就可表示為

所以，如果知道了LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t),那么對(duì)于任一輸入x(t),都可以通過(guò)上式求得輸出y(t),即。從而單位沖激響應(yīng)h(t)可完全表征線性非時(shí)變系統(tǒng)的特性。

在反射法超聲檢測(cè)過(guò)程中，帶有缺陷信息的試件或反射體就可看做系統(tǒng)，超聲波的入射可視為系統(tǒng)的輸入，反射波可視為系統(tǒng)的輸出。當(dāng)然，具有 函數(shù)性質(zhì)的入射超聲波是不可能得到的，因?yàn)闆](méi)有如此理想的超聲波換能器可以發(fā)射持續(xù)時(shí)間趨近于零的超聲波脈沖。即使可以實(shí)現(xiàn)，那么入射的超聲波也會(huì)因能量太小而迅速衰減掉。所以，通常無(wú)法直接得到唯一確定表征被測(cè)試件特性的單位沖激響應(yīng)h(t)。但通過(guò)一種基于頻譜分析的數(shù)據(jù)處理方法，可以間接得到試件的單位沖激響應(yīng)，極大提高了檢測(cè)分辨力。

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